Kako najti korenine polinoma

Vsebina

• Koliko korenin?
• Opozorila
• Poiščite korenine s faktoringom: Primer 1
• Poiščite korenine s faktoringom: Primer 2
• Poiščite korenine z grafiko

Korenine polinoma imenujejo tudi njegove ničle, ker so korenine the x vrednosti, pri katerih je funkcija enaka nič. Ko dejansko najdete korenine, imate na voljo več tehnik; faktoring je metoda, ki jo najpogosteje uporabljate, čeprav je grafiranje lahko tudi koristno.

Koliko korenin?

Preučite izraz polinoma najvišje stopnje - to je izraz z najvišjo eksponento. Ta eksponent je, koliko korenin bo imel polinom. Če je torej v vašem polinomu največja eksponenta 2, imata dve korenini; če je najvišji eksponent 3, ima tri korenine; in tako naprej.

Opozorila

Poiščite korenine s faktoringom: Primer 1

Najbolj vsestranski način iskanja korenin je čim bolj razvrščanje polinoma in nato določitev vsakega pojma enako nič. To je veliko bolj smiselno, ko sledite nekaj primerov. Razmislite o preprostem polinomu x² - 4_x: _

Kratek pregled pokaže, da lahko dejavnik x iz obeh izrazov polinoma, kar vam daje:

x(x – 4)

Vsak izraz nastavite na nič. To pomeni rešitev dveh enačb:

x = 0 je prvi izraz, ki je nastavljen na nič, in

x - 4 = 0 je drugi izraz, ki je nastavljen na nič.

Rešitev za prvi mandat že imate. Če x = 0, potem je celoten izraz enak nič. Torej x = 0 je ena od korenin polinoma ali nič.

Zdaj razmislite o drugem mandatu in se odločite za x. Če dodate 4 na obeh straneh, boste imeli:

x - 4 + 4 = 0 + 4, kar poenostavi:

x = 4. Torej, če x = 4, potem je drugi faktor enak nič, kar pomeni, da je celoten polinom enak nič.

Ker je bil prvotni polinom druge stopnje (najvišji eksponent je bil dve), veste, da obstajata le dva možna korena tega polinoma. Oboje ste že našli, zato jih morate le našteti:

x = 0, x = 4

Poiščite korenine s faktoringom: Primer 2

Tu je še en primer, kako poiskati korenine s faktoringom, pri tem pa uporabiti nekaj domišljijske algebre. Razmislite o polinomu x⁴ - 16. Hiter pogled na njegove sestavne dele vam pokaže, da morajo biti za ta polinom štiri korenine; zdaj je čas, da jih najdete.

Ste opazili, da lahko ta polinom napišemo kot razliko kvadratov? Torej namesto x⁴ - 16, imate:

(x²)² – 4²

Ki z uporabo formule za razliko kvadratov upošteva naslednje:

(x² – 4)(x² + 4)

Prvi izraz je, spet, razlika kvadratov. Čeprav izraza na desni strani ne morete več faktoriti, lahko izraz na levi stopite še korak:

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)

Zdaj je čas, da najdete ničle. Hitro postane jasno, da če x = 2, prvi faktor bo enak nič, s tem pa bo celoten izraz enak nič.

Podobno, če x = -2, drugi faktor bo enak nič, s tem pa tudi celoten izraz.

Torej x = 2 in x = -2 sta polinema tega polinoma ali enaki nič.

Kaj pa zadnji mandat? Ker ima eksponent "2", bi moral imeti dve korenini. Toda tega izraza ne morete faktoriti z dejanskimi številkami, ki ste jih bili vajeni. Uporabiti morate zelo napreden matematični koncept, imenovan namišljena števila ali, če vam je ljubše, kompleksna števila. To je daleč zunaj obsega vaše trenutne matematične prakse, zato je za zdaj dovolj, da upoštevate, da imate dve pravi korenini (2 in -2) in dve namišljeni korenini, ki ju boste pustili nedefinirane.

Poiščite korenine z grafiko

Korenine lahko najdete ali vsaj ocenite tudi z grafiko. Vsak koren predstavlja mesto, kjer graf funkcije prečka x os. Če torej izrišete črto in nato zapišete x koordinate, kjer črta prečka x os, lahko vstavite ocenjeno x vrednosti teh točk v vaši enačbi in preverite, ali ste jih pravilno razumeli.

Razmislite o prvem primeru, ki ste ga delali, za polinom x² - 4_x_. Če ga natančno narišete, boste videli, da črta prečka črto x os pri x = 0 in x = 4. Če vsako od teh vrednosti vnesete v prvotno enačbo, dobite:

0² - 4 (0) = 0, torej x = 0 je bila za ta polinom veljavna nič ali koren.

4² - 4 (4) = 0, torej x = 4 je tudi veljavna ničla ali koren za ta polinom. In ker je bil polinom stopnje 2, veste, da lahko nehate iskati dve korenini.