Kako izračunati kotno hitrost

Vsebina

• Osnove gibanja
• Enačba kotne hitrosti
• Rotacijske enačbe gibanja
• Povezane količine in izrazi
• Kotna hitrost v primerjavi z linearno hitrostjo

V vsakdanjem diskurzu se "hitrost" in "hitrost" pogosto uporabljata zamenljivo. V fiziki pa imajo ti izrazi specifične in različne pomene. "Hitrost" je hitrost premika predmeta v vesolju in jo daje samo številka z določenimi enotami (pogosto v metrih na sekundo ali miljah na uro). Po drugi strani je hitrost hitrost, povezana s smerjo. Hitrost imenujemo skalarna količina, hitrost pa je vektorska količina.

Ko avtomobil zadržuje po avtocesti ali baseball šviga po zraku, se hitrost teh predmetov meri glede na tla, medtem ko hitrost vključuje več informacij. Na primer, če se vozite z avtomobilom s hitrostjo 70 milj na uro na Interstate 95 na vzhodni obali ZDA, je koristno tudi vedeti, ali se pelje severovzhodno proti Bostonu ali južno proti Floridi. Z baseballom boste morda želeli vedeti, ali se njegova koordinata y spreminja hitreje kot njena x-koordinata (muharska žoga) ali če je obratno (linijski pogon). Kaj pa vrtenje pnevmatik ali vrtenje (vrtenje) baseballa, ko se avto in žoga premikata proti končnemu cilju? Za tovrstna vprašanja ponuja fizika koncept kotna hitrost.

Osnove gibanja

Stvari se premikajo skozi tridimenzionalni fizični prostor na dva glavna načina: prevod in vrtenje. Prevod je premik celotnega predmeta z ene lokacije na drugo, kot avtomobil, ki vozi iz New Yorka v Los Angeles. Vrtenje je po drugi strani ciklično gibanje predmeta okoli fiksne točke. Številni predmeti, kot je baseball v zgornjem primeru, imajo obe vrsti gibanja hkrati; Ko se je muhasta žoga po zraku premikala od domače plošče proti obodni ograji, se tudi z določeno hitrostjo vrti okoli svojega središča.

Opisovanje teh dveh vrst gibanja obravnavamo kot ločene fizične težave; to pomeni, da pri izračunu razdalje, ki jo krogla potuje po zraku na podlagi stvari, kot sta njen začetni kot zaletavanja in hitrost, s katero zapusti palico, lahko zavrtite njeno vrtenje, pri izračunu vrtenja pa lahko to obravnavate kot sedenje v enem kraj za sedanje namene.

Enačba kotne hitrosti

Prvič, ko govorite o "kotnem" karkoli, naj bo to hitrost ali kakšna druga fizična količina, to zaznajte, ker se ukvarjate z koti, govorite o potovanju v krogih ali njihovih delih. Iz geometrije ali trigonometrije se lahko spomnite, da je obseg kroga njegov premer, večji od konstantne pi, ali πd. (Vrednost pi je približno 3,14159.) To se pogosteje izrazi v polmeru krogov r, kar je polovico premera, zaradi česar je obod 2πr.

Poleg tega ste se verjetno nekje na poti naučili, da je krog sestavljen iz 360 stopinj (360 °). Če premaknete razdaljo S vzdolž kroga, je kotni premik θ enak S / r. En polni obrat torej daje 2πr / r, kar ostane le 2π. To pomeni kote, manjše od 360 °, ki jih lahko izrazimo kot pi, ali z drugimi besedami, kot radiane.

Če vse te podatke dobite skupaj, lahko izražite kote ali dele kroga v enotah, ki niso stopinje:

360 ° = (2π) radianov, ali

1 radian = (360 ° / 2π) = 57,3 °,

Medtem ko je linearna hitrost izražena v dolžini na enoto časa, se kotna hitrost meri v radianih na enoto časa, običajno na sekundo.

Če veste, da se delček giblje po krožni poti s hitrostjo v na daljavo r iz središča kroga, v smeri proti v ki je vedno pravokoten na polmer kroga, se lahko zapiše kotna hitrost

ω = v / r,

kje ω je grška črka omega. Enote kotne hitrosti so radiani na sekundo; to enoto lahko obravnavate tudi kot "vzajemne sekunde", ker v / r prinese m / s, deljeno z m ali s^-1, kar pomeni, da so radiani tehnično neenakovita količina.

Rotacijske enačbe gibanja

Formula kotnega pospeška je izpeljana na enak bistven način kot formula kotne hitrosti: Gre zgolj za linearni pospešek v smeri, ki je pravokotna na polmer kroga (enakovredno je njegov pospešek po tangenti na krožno pot v kateri koli točki), razdeljen glede na polmer kroga ali dela kroga, ki je:

α = a_t/ r

To poda tudi:

α = ω / t

ker za krožno gibanje a_t = ωr / t = v / t.

αkot verjetno veste grška črka "alfa". Tukaj podpis "t" pomeni "tangenta."

Zanimivo pa je, da se rotacijsko gibanje ponaša z drugo vrsto pospeška, imenovano centripetalno ("iskanje središča") pospeška. To je podano z izrazom:

a_c = v²/ r

Ta pospešek je usmerjen proti točki, okoli katere se zadevni predmet vrti. To se morda zdi čudno, saj se objekt zaradi polmera ne približuje tej osrednji točki r je fiksna. Centripetalno pospeševanje pomislite kot prosti pad, pri katerem ni nevarnosti, da bi predmet udaril ob tla, ker je sila, ki objekt potegne proti njemu (ponavadi gravitacija), ravno izravnana s tangencialnim (linearnim) pospeškom, opisanim s prvo enačbo v ta oddelek. Če a_c niso bili enaki a_t, bi objekt ali odletel v vesolje ali se kmalu zrušil na sredino kroga.

Povezane količine in izrazi

Čeprav je kotna hitrost običajno izražena kotna hitrost, v radianih na sekundo, je mogoče, da je zaželeno ali potrebno namesto njih uporabiti stopinje na sekundo ali obratno, pred pretvorbo težave pretvoriti iz stopinj v radiane.

Povejte, da so vam rekli, da se svetlobni vir vrti skozi 90 ° vsako sekundo s konstantno hitrostjo. Kakšna je njegova kotna hitrost v radianih?

Najprej ne pozabite, da je 2π radianov = 360 °, in nastavite razmerje:

360 / 2π = 90 / x

360x = 180π

x = ω = π / 2

Odgovor je pol pol pi radianov na sekundo.

Če bi vam še povedali, da ima svetlobni žarek doseg 10 metrov, kakšna bi bila konica žarkov linearne hitrosti v, njegov kotni pospešek α in njegov centripetalni pospešek a_c?

Da se rešim za v, od zgoraj, v = ωr, kjer je ω = π / 2 in r = 10m:

(π / 2) (10) = 5π rad / s = 15,7 m / s

Da se rešim za α, v imenovalnik preprosto dodajte še eno časovno enoto:

α = 5π rad / s²

(Upoštevajte, da to deluje le pri težavah, pri katerih je kotna hitrost konstantna.)

Končno, tudi od zgoraj, a_c = v²/ r = (15,7)²/ 10 = 24,65 m / s².

Kotna hitrost v primerjavi z linearno hitrostjo

Nadgradite na prejšnji težavi, predstavljajte se na zelo velikem veselici, ki ima malo verjetno polmer 10 kilometrov (10.000 metrov). Ta veselica naredi en popolni obrat vsake 1 minuto in 40 sekund ali vsakih 100 sekund.

Posledica razlike med kotno hitrostjo, ki ni odvisna od oddaljenosti od vrtenja, in linearno krožno hitrostjo, ki ni, je, da dve osebi doživljata isto ω lahko doživljajo zelo različne fizične izkušnje. Če se nahajate 1 meter od središča, če je ta domnevna množična tekma, je vaša linearna (tangencialna) hitrost:

ωr = (2π rad / 100 s) (1 m) = 0,0628 m / s ali 6,29 cm (manj kot 3 palce) na sekundo.

Če pa ste na robu tega pošasti, je vaša linearna hitrost:

ωr = (2π rad / 100 s) (10.000 m) = 628 m / s. To je približno 1.406 milj na uro, hitreje od metka. Počakaj!