Kako izračunati CG

Vsebina

• Kako pisati o težišču
• Kako izračunati CG trikotnika
• Formula težišča za pravokotnik
• Središče gravitacijske enačbe
• Triki za iskanje težišča

Preden razpravimo o težišču, predpostavimo nekaj parametrov. Prvo, da se ukvarjate s predmetom, ki je na Zemljini površini in ne nekje v vesolju. In dve, da je objekt dokaj majhen - recimo, da vesoljska ladja ni parkirana na Zemlji in čaka na vzlet.Ko so odstranjeni vsi zunajzemeljski vplivi, boste v dobrem položaju za izračun težišča geometrijskih predmetov po razmeroma preprosti formuli - in pravzaprav zaradi teh nastavljenih pogojev boste uporabili isto formulo za iskanje težišča kot najti središče mase.

Kako pisati o težišču

Težišče v dvodimenzionalni ravnini običajno označimo s koordinatami (x_cg, y_cg) ali včasih po spremenljivkah x in y s palico nad njimi. Tudi izraz "težišče" se včasih skrajša na cg.

Kako izračunati CG trikotnika

Vaša matematična ali fizična knjiga bo pogosto imela v njej lestvice za določanje središča ravnotežja določenih številk. Toda za nekatere običajne geometrijske oblike lahko uporabite ustrezno formulo težišča, da ugotovite, da oblikuje težišče.

Za trikotnike težišče stoji na mestu, kjer se sekajo vsi trije mediani. Če začnete pri eni točki trikotnika in nato narišete ravno črto do sredine druge strani, to je ena mediana. Enako storite za druga dva točka, točka, kjer se sekajo vsi trije mediani, pa je težišče trikotnikov.

In seveda, obstaja formula za to. Če so koordinate težišča trikotnikov (x)_cg, y_cg), tako dobite njegove koordinate:

x_cg = (x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3

Kje (x₁, y₁), (x₂, y₂) in (x)₃, y₃) so koordinate trikotnikov tri točka. Izberete lahko, kateri točki je dodeljena številka.

Formula težišča za pravokotnik

Ste opazili, da pri iskanju težišča trikotnika zgolj povprečite vrednost x-koordinat, nato povprečite vrednost y-koordinat in uporabite dva rezultata kot koordinate vašega težišča?

Če želite najti težišče pravokotnika, naredite popolnoma isto stvar. Da pa bodo vaši izračuni še lažji, predpostavimo, da je pravokotnik pravokotno usmerjen na kartezijansko koordinatno ravnino (torej ni postavljen pod kotom) in da je spodnja leva ležeča točka na začetku grafa. V tem primeru najti (x_cg, y_cg) za pravokotnik morate samo izračunati:

x_cg = širina ÷ 2

y_cg = višina ÷ 2

Če ne želite, da svoj pravokotnik premaknete na izvor koordinatne ravnine ali če iz kakršnega koli razloga ni ravno kvadraten na koordinatne osi, se lahko soočite s to nekoliko strašljivo, vendar še vedno učinkovito formulo, s katero povprečite vse svoje x-koordinate da bi našli vrednost x_cg, in povpreči vse y-koordinate, da najdete vrednost y_cg:

x_cg = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) ÷ 4

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) ÷ 4

Središče gravitacijske enačbe

Kaj pa, če morate izračunati težišče za obliko, ki ustreza vsem prej omenjenim predpostavkam (v bistvu ne poskusite dobesedne raketne znanosti z iskanjem težišča za predmete v vesolju), vendar ne sodi v nobeno od pravkar omenjene kategorije ali na lestvicah na zadnji strani knjige? Nato lahko svojo obliko razdelite na bolj znane oblike in uporabite naslednje enačbe, da najdete njihovo skupno težišče:

x_cg = (a₁x₁ + a₂x₂ +. . . + a_nx_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

y_cg = (a₁y₁ + a₂y₂ +. . . + a_ny_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

Ali drugače povedano, x_cg je enako površini odseka 1-krat večji od njegove lokacije na osi x, dodan površini odseka 2-krat večji od njegove lokacije, in tako naprej, dokler ne seštete območja, v katerem se nahaja čas vseh odsekov; nato celoten znesek razdelite na skupno površino vseh odsekov. Nato naredite isto za y.

V: Kako najdem območje vsakega odseka? Če razdelite svojo zapleteno ali nepravilno obliko na bolj znane poligone, lahko za iskanje območja uporabite standardizirane formule. Na primer, če ste to obliko razdelili na pravokotne koščke, lahko s formulo dolžine × širine najdete območje vsakega kosa.

V: Kakšna je "lokacija" vsakega odseka? Lokacija vsakega odseka je ustrezna koordinata odseka težišča. Torej, če želite y₂ (lokacija za segment 2), morate dejansko določiti koordinato y za te segmente težišča. Tudi zato čudno oblikovan predmet razdelite na bolj znane oblike, saj lahko z že opisanimi formulami poiščete vsako težišče oblik in nato izvlečete ustrezne koordinate.

V: Kje gre moja oblika na koordinatni ravnini? Izberete lahko, kje vaša oblika sedi na koordinatni ravnini - le ne pozabite, da bo težišče odgovorov glede na isto referenčno točko. Najlažje postavite predmet v prvi kvadrant vašega grafa, tako da je spodnji rob proti osi x in levi rob proti osi y, tako da so vse vrednosti x in y pozitivne, hkrati pa dovolj majhne, ​​da so obvladljiv.

Triki za iskanje težišča

Če imate opravka z enim samim objektom, sta intuicija in malo logike včasih vse, kar potrebujete, da najdete njegovo težišče. Če na primer razmišljate o ploščatem disku, bo težišče središče diska. V cilindru je njegova sredina na osi cilindrov. Za pravokotnik (ali kvadrat) je njegova točka, kjer se diagonalne črte zbližajo.

Tu ste morda opazili vzorec: Če ima zadevni predmet simetrično črto, bo težišče na tej črti. In če ima več simetričnih osi, bo težišče tam, kjer se sekajo te osi.

Končno, če poskušate najti težišče resnično zapletenega predmeta, imate dve možnosti: bodisi izčrpajte svoje najboljše integrale računanja (glejte Viri za trojni integral, ki predstavlja težišče neenakomerne mase) ali vnesite svoje podatke v namenski kalkulator težišča. (Za primere radijsko vodenih letal glejte Primer Viri, primer gravitacijskega kalkulatorja.)