Vsebina
- Zakaj so pomembne eksponentne funkcije
- Od para točk do grafa
- Ena točka na osi X
- Niti točka na osi X
- Primer iz resničnega sveta
Če poznate dve točki, ki padeta na določeno eksponentno krivuljo, lahko krivuljo določite tako, da s temi točkami rešite splošno eksponentno funkcijo. V praksi to pomeni zamenjavo točk za y in x v enačbi y = abx. Postopek je lažji, če je vrednost x za eno od točk 0, kar pomeni, da je točka na osi y. Če nobena točka nima nič x-vrednosti, je postopek reševanja za x in y tad bolj zapleten.
Zakaj so pomembne eksponentne funkcije
Številni pomembni sistemi sledijo eksponentnim vzorcem rasti in propadanja. Na primer, število bakterij v koloniji navadno narašča eksponentno, sevanje okolja v atmosferi po jedrskem dogodku pa se običajno eksponentno zmanjša. Znanstveniki so z zbiranjem podatkov in risanjem krivulje v boljšem položaju za napovedovanje.
Od para točk do grafa
Vsako točko na dvodimenzionalnem grafu lahko predstavimo z dvema številkama, ki sta običajno zapisani v obliki (x, y), kjer x določa vodoravno razdaljo od začetka in y predstavlja navpično razdaljo. Točka (2, 3) je na primer dve enoti desno od osi y in tri enote nad osjo x. Po drugi strani je točka (-2, -3) dve enoti levo od osi y. in tri enote pod osjo x.
Če imate dve točki, (x1, y1) in (x)2, y2), lahko določite eksponentno funkcijo, ki poteka skozi te točke, tako da jih nadomestite v enačbi y = abx in reševanje za a in b. Na splošno morate rešiti ta par enačb:
y1 = abx1 in y2 = abx2, .
V tej obliki je matematika videti nekoliko zapletena, vendar je videti manj, potem ko ste naredili nekaj primerov.
Ena točka na osi X
Če je ena od x-vrednosti, recimo x1 - je 0, operacija postane zelo preprosta. Na primer, če rešimo enačbo točk (0, 2) in (2, 4), dobimo:
2 = ab0 in 4 = ab2. Ker vemo, da b0 = 1, prva enačba postane 2 = a. Če nadomestimo a v drugi enačbi, dobimo 4 = 2b2, ki ga poenostavimo na b2 = 2 ali b = kvadratni koren 2, ki je približno 1,41. Nato je definirajoča funkcija y = 2 (1,41)x.
Niti točka na osi X
Če niti ena vrednost ni nič, je reševanje para enačb nekoliko bolj okorno. Henochmath nas vodi skozi preprost primer, da razjasnimo ta postopek. V svojem primeru je izbral par točk (2, 3) in (4, 27). Tako dobimo naslednji par enačb:
27 = ab4
3 = ab2
Če prvo enačbo delite z drugo, dobite
9 = b2
torej b = 3. Možno je tudi, da je b enak -3, vendar v tem primeru predpostavimo, da je pozitiven.
To vrednost lahko nadomestite za b v kateri koli enačbi in dobite a. Lažje je uporabiti drugo enačbo, zato:
3 = a (3)2 ki jih je mogoče poenostaviti na 3 = a9, a = 3/9 ali 1/3.
Enačba, ki poteka skozi te točke, lahko zapišemo kot y = 1/3 (3)x.
Primer iz resničnega sveta
Od leta 1910 je rast človeške populacije eksponentna, znanstveniki pa so z načrtovanjem krivulje rasti v boljšem položaju za napoved in načrtovanje prihodnosti. Leta 1910 je bilo svetovno prebivalstvo 1,75 milijarde, leta 2010 pa 6,87 milijarde. Leta 1910 vzamemo za izhodišče in tako dobimo par točk (0, 1,75) in (100, 6,87). Ker je x-vrednost prve točke enaka nič, zlahka najdemo a.
1,75 = ab0 ali a = 1,75. Priključitev te vrednosti skupaj z vrednostmi druge točke v splošno eksponentno enačbo ustvari 6,87 = 1,75 b100, ki daje vrednost b kot stotega korena 6,87 / 1,75 ali 3,93. Tako postane enačba y = 1,75 (stoti koren 3,93)x. Čeprav je za to potrebno več kot le diapozitivno pravilo, lahko znanstveniki s to enačbo projektirajo prihodnje število prebivalstva in tako pomagajo politikom v sedanjosti, da ustvarijo ustrezne politike.