Kako izračunati lastne vrednosti

Vsebina

• Matrike, lastne vrednosti in lastni vektorji: kaj pomenijo
• Kako izračunati lastne vrednosti
• Nasveti
• Iskanje lastnih vektorjev

Ko vam je v razredu matematike ali fizike predstavljena matrica, vas bodo pogosto morali poiskati njene lastne vrednosti. Če niste prepričani, kaj to pomeni ali kako to storiti, je naloga zastrašujoča in vključuje veliko zmede terminologij, kar še poslabša zadeve. Vendar pa postopek izračunavanja lastnih vrednosti ni preveč zahteven, če vam ni všeč reševanje kvadratnih (ali polinomnih) enačb, če se naučite osnov matric, lastnih vrednosti in lastnih vektorjev.

Matrike, lastne vrednosti in lastni vektorji: kaj pomenijo

Matrike so matrične številke, pri katerih stoji A za ime generične matrike, kot je ta:

( 1 3 )

A = ( 4 2 )

Številke v posameznem položaju se razlikujejo in na njihovem mestu so lahko celo algebrski izrazi. To je matrica 2 × 2, vendar imajo različne velikosti in nimajo vedno enakega števila vrstic in stolpcev.

Ukvarjanje z matricami se razlikuje od obravnavanja navadnih števil in obstajajo posebna pravila za njihovo množenje, deljenje, seštevanje in odštevanje drug od drugega. Izraza „lastna vrednost“ in „lastni vektor“ se v matrični algebri uporabljata za označevanje dveh značilnih veličin glede na matrico. Ta problem lastne vrednosti vam pomaga razumeti, kaj ta izraz pomeni:

A ∙ v = λ ∙ v

A je splošna matrica kot prej, v je nek vektor in je λ značilna vrednost. Poglejte enačbo in opazite, da ko pomnožite matrico z vektorjem v, učinek je reprodukcija istega vektorja, ki je prav tako pomnožen z vrednostjo λ. To je nenavadno vedenje in zasluži vektor v in količina λ posebna imena: lastni vektor in lastno vrednost. To so značilne vrednosti matrike, ker množenje matrice na lastni vektor pusti vektor nespremenjen, razen množenja s faktorjem lastne vrednosti.

Kako izračunati lastne vrednosti

Če imate problem lastne vrednosti za matrico v kakšni obliki, je iskanje lastne vrednosti enostavno (ker bo rezultat vektor enak izvirnemu, razen pomnožen s stalnim faktorjem - lastno vrednostjo). Odgovor najdemo z reševanjem značilne enačbe matrice:

det (A – λjaz) = 0

Kje jaz je matrika identitete, ki je prazna, razen serije 1, ki poteka diagonalno navzdol nad matrico. "Det" se nanaša na določitev matrike, ki za splošno matrico:

(a b)

A = (c d)

Je dal z

det A = oglas –bc

Značilna enačba pomeni:

(a - λ b)

det (A – λjaz) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

Kot primer matrike definirajmo A kot:

( 0 1 )

A = (−2 −3 )

To pomeni:

det (A – λjaz) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

Rešitve za λ so lastne vrednosti in to rešujete kot katero koli kvadratno enačbo. Rešitve sta λ = - 1 in λ = - 2.

Nasveti

Iskanje lastnih vektorjev

Iskanje lastnih vektorjev je podoben postopek. Uporaba enačbe:

(A – λ) ∙ v = 0

z vsako lastno vrednostjo, ki ste jo našli po vrsti. To pomeni:

(a - λ b) (v₁ ) (a - λ) v₁ + b v₂ (0)

(A – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d - λ) v₂ = (0)

To lahko rešite tako, da zaporedoma preučite vsako vrstico. Potrebujete le razmerje v₁ do v₂, ker bo potencialno veliko rešitev za v₁ in v₂.