Vsebina
Ko začnete reševati algebrske enačbe, ki vključujejo polinomele, postane sposobnost prepoznavanja posebnih oblik polinoma, ki jih je mogoče enostavno upoštevati, postala zelo koristna. Eden najbolj uporabnih polinomov, ki jih je mogoče enostavno določiti, je popoln kvadrat ali trinom, ki je rezultat kvadrata v binom. Ko enkrat določite popoln kvadrat, ga je razdelitev na posamezne sestavne dele pogosto pomemben del postopka reševanja problemov.
Prepoznavanje popolnih kvadratnih trinomov
Preden lahko določite popoln kvadratni trinom, se ga morate naučiti prepoznati. Popoln kvadrat lahko ima katero koli od dveh oblik:
Nekaj primerov popolnih kvadratov, ki jih boste morda videli v "resničnem svetu" matematičnih problemov, vključuje:
Kaj je ključno za prepoznavanje teh popolnih kvadratov?
Preverite prvi in tretji pogoj trinomala. Ali sta oba kvadrata? Če je odgovor pritrdilen, ugotovite, kaj so kvadratki. Na primer v drugem zgornjem primeru "resničnega sveta", y2 - 2_y_ + 1, izraz y2 je očitno kvadrat y. Izraz 1 je morda manj očitno kvadrat 1, ker 12 = 1.
Pomnožite korenine prvega in tretjega izraza skupaj. Za nadaljevanje primera, to y in 1, ki vam daje y × 1 = 1_y_ ali preprosto y.
Nato pomnožite svoj izdelek z 2. Če nadaljujete s primerom, imate 2_y._
Na koncu primerjamo rezultat zadnjega koraka s srednjim pojmom polinoma. Se ujemajo? V polinomu y2 - 2_y_ + 1, to počnejo. (Znak ni pomemben; itd. Tudi ujemanje, če bi bil srednji izraz + 2_y_.)
Ker je bil odgovor v 1. koraku "da" in se vaš rezultat iz koraka 2 ujema s srednjim izrazom polinoma, veste, da gledate na popoln kvadratni trinom.
Faktoring popolnega kvadratnega trinoma
Ko veste, da gledate popoln kvadratni trinom, je postopek faktoringa preprost.
V prvem in tretjem besedilu trinomala določite korenine ali števila, ki se kvadratujejo. Razmislite o svojem drugem primeru trinomilov, za katere že veste, da je popoln kvadrat, x2 + 8_x_ + 16. Očitno je, da je v prvem izrazu kvadrat, ki je na kvadrat x. Število, ki ga v tretjem izrazu naštejemo, je 4, ker je 42 = 16.
Pomislite nazaj na formule za popolne kvadratne trinomile. Veste, da bodo vaši dejavniki bodisi v obliki (a + b)(a + b) ali obrazec (a – b)(a – b), kje a in b so številke v prvem in tretjem izrazu na kvadrat. Torej lahko svoje faktorje tako izpišete, zaenkrat izpustite znake:
(a ? b)(a ? b) = a2 ? 2_ab_ + b2
Če želite nadaljevati z nadomestitvijo korenin trenutnega trinomala, morate:
(x ? 4)(x ? 4) = x2 + 8_x_ + 16
Preverite srednji termin trinoma. Ali ima pozitiven ali negativen znak (ali povedano drugače, ali ga sešteva ali odšteva)? Če ima pozitiven predznak (ali se doda), imata oba dejavnika trinoma v sredini znak plus. Če ima negativen predznak (ali se odšteje), imata oba dejavnika negativni znak na sredini.
Srednji izraz trenutnega primera trinomia je 8_x_ - njegov pozitiven - tako da ste zdaj upoštevali popoln kvadratni trinomia:
(x + 4)(x + 4) = x2 + 8_x_ + 16
Preverite svoje delo tako, da množite dva dejavnika skupaj. Uporaba FOIL ali prve, zunanje, notranje, zadnje metode vam daje:
x2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Poenostavitev tega daje rezultat x2 + 8_x_ + 16, kar ustreza vašemu trinomalu. Torej so dejavniki pravilni.