Kako poenostaviti zapletene številke

Vsebina

• TL; DR (Predolgo; Nisem prebral)
• Kaj je kompleksna številka?
• Osnovna pravila za algebro s kompleksnimi številkami
• Delitve kompleksnih števil
• Poenostavitev zapletenih števil

Algebra pogosto vključuje poenostavitev izrazov, vendar so nekateri izrazi bolj zmedeni kot drugi. Kompleksne številke vključujejo količino, znano kot jaz, "namišljena" številka s lastnostjo jaz = √ − 1. Če morate preprosto izraz, ki vključuje kompleksno številko, se morda zdi zastrašujoč, vendar je to precej preprost postopek, ko se naučite osnovnih pravil.

TL; DR (Predolgo; Nisem prebral)

Poenostavite zapletena števila z upoštevanjem pravil algebre s kompleksnimi števili.

Kaj je kompleksna številka?

Kompleksne številke so določene z vključitvijo jaz izraz, ki je kvadratni koren minus ena. V osnovni matematiki kvadratne korenine negativnih števil res ne obstajajo, vendar se občasno pojavljajo v algebri. Splošna oblika za kompleksno število prikazuje njihovo strukturo:

z = a + bi

Kje z označi kompleksno številko, a predstavlja poljubno število (imenovano "pravi" del) in b predstavlja drugo številko (imenovano "namišljeni" del), ki sta lahko pozitivni ali negativni. Torej je primer kompleksne številke:

z = 2 −4_i_

Ker je mogoče vse kvadratne korenine negativnih števil predstaviti z večkratniki jaz, to je obrazec za vsa kompleksna števila. Tehnično gledano navadna številka samo opisuje poseben primer zapletene številke, kjer b = 0, zato bi se lahko vsa števila štela za zapletena.

Osnovna pravila za algebro s kompleksnimi številkami

Če želite seštevati in odštevati zapletene številke, preprosto dodajte ali odštejte resnične in namišljene dele ločeno. Torej za kompleksne številke z = 2 - 4_i_ in w = 3 + 5_i_, vsota je:

z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)jaz

= 5 + 1_i_ = 5 + jaz

Odštevanje števil deluje na enak način:

z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)jaz

= −1 - 9_i_

Pomnožitev je še enostavna operacija s kompleksnimi števili, saj deluje kot običajno množenje, le da se morate tega spomniti jaz² = −1. Torej za izračun 3_i_ × −4_i_:

3_i_ × −4_i_ = −12_i_²

Ampak od takrat jaz²= −1, potem:

−12_i_² = −12 ×−1 = 12

S polnimi kompleksnimi številkami (z uporabo z = 2 - 4_i_ in w = 3 + 5_i_ znova), jih pomnožite na enak način kot z navadnimi števili, kot so (a + b) (c + d), z uporabo metode "prvi, notranji, zunanji, zadnji" (FOIL), za podajanje (a + b) (c + d) = ac + bc + oglas + bd. Vse kar morate zapomniti je poenostaviti vse primere jaz². Tako na primer:

z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

Delitve kompleksnih števil

Delitev kompleksnih števil vključuje množenje števca in imenovalca ulomka s kompleksnim veznikom imenovalca. Kompleksni konjugat pomeni le različico kompleksnega števila z namišljenim delom, obrnjenim v znak. Torej za z = 2 - 4_i_, zapleteni konjugat z = 2 + 4_i_ in za w = 3 + 5_i_, w = 3 -5_i_. Za težavo:

z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

Potreben je konjugat w*. Števnik in imenovalec delite s tem, tako da dobite:

z / w = (2 - 4_i_) (3 -5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

In potem delaš tako kot v prejšnjem razdelku. Števec daje:

(2 - 4_i_) (3 -5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i_

In imenovalec daje:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

To pomeni:

z / w = (−14 - 22_i_) / 34

= −14/34 - 22_i_ / 34

= −7/17 - 11_i_ / 17

Poenostavitev zapletenih števil

Zgornja pravila po potrebi poenostavite zapletene izraze. Na primer:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - jaz)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ jaz))

To je mogoče poenostaviti z uporabo pravila seštevanja v števcu, pravila množenja v imenovalcu in nato dokončanja delitve. Za števca:

(4 + 2_i_) + (2 - jaz) = 6 + jaz

Za imenovalec:

(2 + 2_i _) (2+ jaz) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

Če jih postavite nazaj, dobite:

z = (6 + jaz) / (2 + 6_i_)

Če množenje obeh delov s konjuktorjem imenovalca vodi do:

z = (6 + jaz) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_²)

= (18 - 34_i_) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 −17_i_ / 20

Torej to pomeni z poenostavlja na naslednji način:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - jaz)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ jaz)) = 9/20 −17_i_ / 20