Vsebina
- TL; DR (Predolgo; Nisem prebral)
- Izračun kocke binoma
- Kaj pa odštevanje?
- Pazite na seštevek in razliko kock
Algebra je polna ponavljajočih se vzorcev, ki jih lahko vsakič izrišeš iz aritmetike. Ker pa so ti vzorci tako pogosti, je navadno nekakšna formula, ki olajša izračune. Odličen primer je kocka binoma: Če bi jo morali vsakič izvesti, bi porabili veliko časa za svinčnik in papir. Ko pa poznate formulo za reševanje te kocke (in nekaj priročnih trikov, da si jo zapomnite), je iskanje odgovora tako preprosto, kot če vstavite prave izraze v prave rež.
TL; DR (Predolgo; Nisem prebral)
Formula za kocko binoma (a + b) je:
(a + b)3 = a3 + 3_a_2b + 3_ab_2 + b3
Izračun kocke binoma
Ni vam treba paničariti, ko vidite takšno težavo (a + b)3 pred tabo. Ko ga razdelite na že znane komponente, bo začel izgledati kot bolj znane matematične težave, ki ste jih delali že prej.
V tem primeru si to pomaga zapomniti
(a + b)3
je isto kot
(a + b) (a + b) (a + b), kar bi moralo izgledati veliko bolj znano.
Toda namesto, da iz matematike vsakič izdelate iz nič, lahko uporabite "bližnjico" formule, ki predstavlja odgovor, ki ga boste dobili. Tukaj je formula za kocko binoma:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Če želite uporabiti formulo, določite, katera števila (ali spremenljivke) zasedajo rež za "a" in "b" na levi strani enačbe, nato pa isti isti številki (ali spremenljivke) nadomestite v rež "a" in "b" na desni strani formule.
Primer 1: Rešiti (x + 5)3
Kot vidite, x zaseda režo "a" na levi strani vaše formule in 5 zaseda "b" režo. Zamenjava x in 5 na desni strani formule vam daje:
x3 + 3x25 + 3x52 + 53
Nekoliko poenostavitev vas približa odgovoru:
x3 + 3 (5) x2 + 3 (25) x + 125
In končno, ko poenostavite, kolikor lahko:
x3 + 15x2 + 75x + 125
Kaj pa odštevanje?
Za rešitev takega problema ne potrebujete drugačne formule (y - 3)3. Če se tega spominjate y - 3 je isto kot y + (-3), lahko težavo preprosto napišete v 3 in ga rešite po svoji znani formuli.
Primer 2: Rešiti (y - 3)3
Kot smo že razpravljali, je vaš prvi korak, da težavo ponovno napišete 3.
Nato se spomnite svoje formule za kocko binoma:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
V svoji težavi y zasede režo "a" na levi strani enačbe in -3 zasede režo "b". Postavite jih v ustrezne rež na desni strani enačbe, pri tem pa bodite zelo pozorni, da ohranite negativni predznak pred -3. To vam omogoča:
y3 + 3y2(-3) + 3y (-3)2 + (-3)3
Zdaj je čas za poenostavitev. Ponovno bodite pozorni na tisti negativni znak, ko uporabljate eksponente:
y3 + 3 (-3) y2 + 3 (9) y + (-27)
Še en krog poenostavitve vam daje odgovor:
y3 - 9y2 + 27y - 27
Pazite na seštevek in razliko kock
Vedno bodite pozorni na to, kje so izpostavniki v vaši težavi. Če opazite težavo v obrazcu (a + b)3ali 3, potem je formula, o kateri se tukaj govori, primerna. Če pa izgleda vaša težava (a3 + b3) ali (a3 - b3), to ni kocka binom. Njegova vsota kock (v prvem primeru) ali razlika kock (v drugem primeru), v tem primeru uporabite eno od naslednjih formul:
(a3 + b3) = (a + b) (a2 - ab + b2)
(a3 - b3) = (a - b) (a2 + ab + b2)